Urodził się 14 czerwca 1925 w Chełmie. Miał trójkę starszego rodzeństwa - przyrodnią siostrę Alinę (ur. 1915), siostrę Grażynę (ur. 1919) i brata Zygmunta (ur. 1921). Rodzice pochodzili ze zbiedniałych rodzin ziemiańskich. Ojciec urodził się w Kijowie, gdzie skończył politechnikę. Służył jako oficer w armii carskiej. W czasie I wojny światowej wstąpił do Polskiej Organizacji Wojskowej, walczył w wojnie polsko-bolszewickiej jako dowódca kompanii uczniowsko-harcerskiej 7. Pułku Piechoty. Matka Przemysława Dąbrowskiego, Wanda z domu Janiszowska pochodziła w Chełma, była nauczycielką, należała do POW i zaangażowana była w działalność harcerską. Pierwsze dziesięć lat życia Przemysław Dąbrowski spędził w Chełmie, uczęszczając do szkoły powszechnej na ul. Reformackiej.
W 1935 roku ojciec Przemysława Dąbrowskiego został przeniesiony do pracy w Warszawie, gdzie objął posadę dyrektora gimnazjum im. Księcia Józefa Poniatowskiego. Przemysław Dąbrowski kontynuował naukę w peowiackiej szkole powszechnej im. Adama Skwarczyńskiego na Żoliborzu do 1937 roku, a następnie do 1939 roku uczęszczał do gimnazjum prowadzonego przez swego ojca. Należał do drużyny harcerskiej.
We wrześniu 1939 Przemysław Dąbrowski wraz z bratem, ewakuując się przed zbliżającym się frontem dotarł do Chełma, gdzie pracował w miejscowym szpitalu. W październiku powrócił do Warszawy, a zimą 1939 przeniósł się z rodzeństwem do ciotki na wieś do Chynowa, gdzie pomagał w pracach gospodarczych do lata 1940. Po powrocie rozpoczął naukę w zawodowej szkole handlowej, a wieczorami uczęszczał na tajne komplety. We wrześniu 1941 wstąpił do ZWZ/AK, potem służył w pułku "Baszta", skończył szkołę podoficerską, zdobywając stopień kaprala. W 1942 roku wstąpił do Batalionów Chłopskich, w ramach swojej działalności przepisywał m.in. raporty i zaszyfrowane meldunki Stanisława Mikołajczyka. Jednocześnie podjął pracę w Spółdzielni Spożywców na Żoliborzu. Po śmierci dowódcy batalionu, "Lubańskiego" z "Baszty", wiosną 1944 Przemysław Dąbrowski musiał uciekać z Warszawy. Przebywał w ośrodkach społemowskich koło Nowego Sącza, a po zdaniu matury koło Kielc. Na Kielecczyźnie wstąpił do oddziału " partyzanckiego "Szarego". W lipcu 1944 wrócił do Warszawy.
Pierwszego dnia powstania Przemysław Dąbrowski wraz z bratem został skierowany do akcji na Wyścigach, której celem było zdobycie składów niemieckiej amunicji. W czasie walki Przemysław Dąbrowski został ranny w rękę, do połowy sierpnia przebywał w szpitalu elżbietanek, a po wyjściu ze szpitala walczył i ukrywał się w piwnicach Mokotowa. Po kapitulacji powstania trafił do obozu jenieckiego w Sandbostel niedaleko Hamburga, a potem do obozu w Lubece. Po zakończeniu wojny do listopada 1945 Przemysław Dąbrowski pracował w Brunszwiku w Polskim Ośrodku Kulturalnym w nasłuchu radiowym. W listopadzie wrócił do Warszawy. Rozpoczął studia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego, a w 1947 roku podjął pracę w spółdzielczości w dziale wydawnictw jako sekretarz redakcji "Przeglądu Mleczarskiego" i "Czasopisma Ogrodniczego". Po upaństwowieniu spółdzielczości w 1948 roku zaczął pracować w Instytucie Ekonomiki Rolnej, gdzie pracował aż do emerytury. Jako ekonomista rolny i geograf wiele podróżował służbowo, m.in. na misję do Górnej Wolty (obecnie Burkina Faso).